Tomado de la  Web de BB de Mario Jaime Martín (http://www.geocities.com/newbloodbowl/matematicas.htm)

Sólo para empollones descerebrados

En el Blood Bowl cada acción lleva inherente unas probabilidades de éxito y de fracaso. Un fracaso normalmente significa que el jugador se cae al suelo con la consiguiente pérdida de turno. En el caso de los bloqueos, el rango de posibilidades se amplia un poco, aunque normalmente lo que más nos importa es saber si vamos a fallar la tirada y perder el turno; a esa probabilidad de fallo la vamos a llamar riesgo.

En la siguiente tabla tenemos los riesgos de cada jugada. En el caso del placaje significa que el otro nos ha derribado, o nos hemos caído los dos; en definitiva lo que no queremos que nunca ocurra, no está incluido que ambos nos quedemos en el sitio, a pesar de que muchos lo podrían considerar un fracaso, por lo menos no supone la pérdida de turno.

Probabilidades de riesgo para fallo y pérdida de turno

 Una de las cosas que más llama la atención es que para un jugador con placar es mejor placar a otro jugador más fuerte que el que tratar de salir de su zona de defensa con una tirada de esquivar con agilidad 3.

Esta tabla sin embargo es un poco incómoda; tiene decimales y son algo antipáticos, sobre todo para los que no les gustan los números como a mí. Por eso en vez de usar esta tabla vamos a usar otra. La principal diferencia es que son los mismos números, pero multiplicados por 0.36. Les pongo una R por delante para acordarme de que ese número es un riesgo. Para calcular la probabilidad exacta simplemente divide ese número por 36, pero eso no es necesario; simplemente saber que un R18 es un 50% (jugada extremadamente arriesgada) que R1 es casi imposible de fallar, que R12 es un tercio, que es el doble que un R6 que R36 es el fallo seguro, y así...

Riesgos para fallo y pérdida de turno

Todo buen jugador de Blood Bowl que se precie o aspire a serlo tiene muy clara esta tabla en la cabeza. Nos dice como de arriesgadas son cada una de las acciones individualmente y no indica por ejemplo el orden en que se deben efectuar las jugadas. Saber si hacer las menos arriesgadas siempre primero o las más arriesgadas, si son esenciales para la partida, es lo que suele diferenciar un buen jugador de Blood Bowl.

Un buen consejo es procurar que los jugadores hagan acciones por debajo de un R12 para todas las jugadas que no son esenciales.

Como también saben muchos jugadores de Blood Bowl las segundas oportunidades no duplican las probabilidades de éxito, si no que van mucho más allá. Son el equivalente a tener la habilidad de esquivar y mucho más de lo que se imaginan al permitir repetir las tiradas de placaje. Pero como dicen los mejores jugadores, las mejores partidas son en las que no has tenido que usar ninguna segunda oportunidad.

Jugadas encadenadas

Para los que todavía no les haya explotado la cabeza o se creen que lo saben todo, que se preparen para lo que viene ahora.

La tabla de riegos nos da la probabilidad de perder el turno en una sola acción individualmente. Si queremos saber cuales son nuestras posibilidades para un serie de jugadas; por ejemplo, que tres líneas elfos huyan de Morg’n Thorg en la que necesitan hacer tres tiradas de esquivar con R6, frente a pegarle con un dado con R12. Los listillos simplemente suman cada uno de los riesgos de todas las jugadas y comparan. ¡Y funciona! bastante bien, aunque no tienen ni idea de por qué.

Para explicar un poco todo esto vamos a definir una función de riego:

Esto quiere decir que vamos a intentar n acciones con la misma probabilidad; con riesgo R. La probabilidad de éxito siempre es 1 – probabilidad de fallo para una única acción. Y para varias acciones la probabilidad de fallar alguna de las acciones es 1 – probabilidad de conseguir hacerlas todas. No voy a enrollarme mucho, simplemente decir que se trata de una función discontinua parecida a una hipérbola que tiende asintóticamente a uno. Tiene una pinta así:

Esto realmente no nos ayuda de momento mucho; y la verdad, desconcertaríamos un poco si aparecemos en el partido con una calculadora, de modo que hay que buscar otra forma de hacer estos cálculos de una manera mucho más fácil.

Para los estudiosos hay un teorema que dice que una distribución de Bernoulli se puede aproximar por otra de Poisson si el número de intentos es suficientemente grande y la probabilidad suficientemente pequeña. En realidad esto que suena a chino no parece que tenga mucha utilidad. ¡Si, para calcular distribuciones de Poisson en medio del partido! Realmente lo único importante es que la función anterior se parece mucho a una exponencial que es casi como no decir nada, pero que tiene realmente una utilidad muy interesante.

Por eso vamos a redefinir nuestra función de riesgo de esta forma:

Ahora hemos llamado al riesgo RE en vez de R para distinguirlos, ya que no tienen el mismo valor. Y la probabilidad de fallar alguno de los n intentos es:

¿Sorpresa? Bueno, la verdad es que las funciones exponenciales tienen propiedades realmente muy interesantes. Más concretamente, para calcular el riesgo de una serie de jugadas encadenadas solo hay que sumar el riesgo de cada una de las jugadas.

Luego si a alguno le interesa calcular la probabilidad puede aprenderse de memoria la tabla de la exponencial, pero realmente a mi lo único que me interesa es saber que el riesgo de una serie de jugadas es mayor que otro, no me importa conocer  exactamente la probabilidad de hacer la jugada completamente sin perder el turno.

Ahora hay que tener en cuenta es que ya no trabajamos en una graduación lineal, sin embargo las exponenciales tienen otra propiedad interesante, y es que se pueden aproximar muy bien por una recta cerca del origen. Digamos como regla que si la suma de todos los riegos no supera 36 podemos seguir pensando que un RE36 es aproximadamente el doble que un RE18. Para riesgos mayores que un RE36 simplemente pensar un RE48 no es exactamente el doble de un RE24 sino 1.5 veces y así.

Esta propiedad de la exponencial de aproximarse a una recta cerca del origen tiene otra repercusión aún más interesante que se puede comprender viendo la tabla para los RE:

Riesgos para fallo y pérdida de turno

Como podemos comprobar los valores de RE y R se parecen bastante, sobre todo para riesgos bajos que son los que normalmente usamos; o por lo menos se parecen lo suficiente como para que nos valga durante en un partido. Por eso basta con aprenderse la primera tabla de los riesgos lineales y para jugadas concatenadas simplemente se suman los riesgos de cada una de las jugadas e ir comparando entre las diferentes posibilidades de juego.

Para los que todavía no están muy convencidos que cojan la calculadora y prueben, de todos modos aquí tienen unas gráficas ilustrativas para un R12. Los círculos son la probabilidad exacta de fallo, vemos que aproximación exponencial con la RE14.6 es casi clavada, y la exponencial rayada que se queda por debajo es la aproximación exponencial con RE12 que no queda muy alejada.

 Para los que todavía no les ha entrado el tembleque hay más.

Se ha preguntado alguna vez, por casualidad, cuál es la probabilidad que tiene un enano matatrolls de tirar a un oponente que tiene placar. Imaginemos para complicar el asunto que lleva la pelota y está justo en la línea de touchdown y lo único que le impide al matatrolls ganar el partido es un blitzer orco que se le ha puesto al lado para molestarle. ¿Es mejor placar al blitzer sabiendo que por culpa de la furia está obligado a seguir placando hasta que uno de los dos caiga o es mejor intentar directamente una tirada de esquivar?

Para resolver esta cuestión hay otra propiedad que tiene nuestra función de riesgo que deriva directamente del árbol de probabilidades. Esto quiere decir que el riesgo de la siguiente jugada es directamente proporcional a la probabilidad de que ocurra. ¡¿Eh?! Bueno, sabemos que el riesgo para esquivar es R12. La probabilidad para que falle el placaje contra el blitzer orco es un riesgo R6 o que la probabilidad ambos se queden en el sitio es un 1/6 con lo que en la siguiente jugada tendrá que intentar una tirada de esquivar; en definitiva un riesgo R(12/6). Si el matatrolls solo empuja, con una probabilidad de 1/3, tendrá volver a tirar los dados de placaje y vuelta a empezar. Por tanto el riesgo total de la jugada es:

6+12/6 + (6+12/6)/3 + (6+12/6)/(3*3) + (6+12/6)/(3*3*3) + ... = R12

Es decir, que según este método, tiene las mismas probabilidades con las dos jugadas de marcar el touchdown, pero es mejor hacer blitz y placar al blitzer orco, pues igual también se lo lleva por delante.